transformation

transformation的含义

对于一个变换矩阵 $T_{t i p}^{e e}$ 或者 $^{e e} T_{t i p}$ , 它的形式表示两个含义：

从 $e e$ 到 $t i p$ 的变换
$t i p$ 在 $e e$ 的位姿表示，或者说 $t i p$ 在 $e e$ 的投影

例如从 $w_{0}$ 经由 $w_{1}$ ... 连续变换至 $w_{n}$ 坐标系，记作：

^{w_{0}} T_{w_{n}} =^{w_{0}} T_{w_{1}}^{w_{1}} T_{w_{2}} . . .^{w_{n} - 1} T_{w_{n}}

具体举例可以考虑常见的眼在手上的物体定位过程：
已知物体在相机下检测到的位姿 $^{c a m} T_{o b j}$ , 此时刻相机在机器人 $b a s e$ 下的位姿 $^{b a s e} T_{c a m}$ ，那么物体在机器人base下的位姿即为 $^{b a s e} T_{o b j} =^{b a s e} T_{c a m}^{c a m} T_{o b j}$ ,
当然在实践中可能相机的位姿也是用相机的外参( $^{e e} T_{c a m}$ )计算出来的： $^{b a s e} T_{o b j} =^{b a s e} T_{e e}^{e e} T_{c a m}^{c a m} T_{o b j}$

实践上，例如在python中，可以直接将数学符号 $^{e e} T_{t i p}$ 用 snake_case 记为 ee_tf_tip，如果各个 tf 都是 ndarray， $^{b a s e} T_{o b j} =^{b a s e} T_{c a m}^{c a m} T_{o b j}$ 可以写成base_tf_obj=base_tf_cam @ cam_tf_obj

将一组向量转换到其它坐标系下表示

已知一组在坐标系 $w_{0}$ 下表示的向量 $v_{1}, v_{2}, . . ., v_{n}$ , 其中

v_{1} = [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}]

按列排列记作 :

^{w_{0}} V = [\begin{matrix} v_{1} & v_{2} & . . . & v_{n} \end{matrix}]

按行排列记作 :

H_{w_{0}} = [\begin{matrix} v_{1}^{T} \\ v_{2}^{T} \\ . . . \\ v_{n}^{T} \end{matrix}] = (^{w_{0}} V)^{T}

如果要将这组向量变换到 $w_{n}$ 坐标系，需要通过：

^{w_{n}} V =^{w_{n}} T_{w_{0}}^{w_{0}} V

或者

H_{w_{n}} = H_{w_{0}}^{w_{0}} T_{w_{n}}

其中 $^{w_{n}} T_{w_{0}}$ , $w_{0}$ 是 source frame， $w_{n}$ 是 target frame

矩阵的右乘表示此变换绕自身坐标系进行，矩阵的左乘表示此变换绕世界坐标系（固定坐标系）进行。

transform 所隐含的平移和旋转，等效于在右乘时先施加平移后施加旋转，可以从公式中看出：

\begin{aligned} [\begin{array}{c} I & d \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} R & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] & = [\begin{array}{c} R & d \\ 0 & 1 \end{array}] \\ [\begin{array}{c} R & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} I & d \\ 0 & 1 \end{array}] & = [\begin{array}{c} R & R d \\ 0 & 1 \end{array}] \end{aligned}

欧拉角所表示的旋转，分为内旋(intrinsic)和外旋(extrinsic)。
内旋是绕旋转坐标系自身的连续旋转，一般用大写字母表示，等价于连续右乘。
外旋是绕世界坐标系的连续旋转，一般用小写字母表示，等价于连续左乘。